[2D4-5. 2-2] Cho số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ)$ thỏa mãn: $\frac{z + 2}{z + 2 i}$ là một số thuần ảo. Khi số phức $z$ có môđun lớn nhất, hãy tính $a + b$ .

a + b = 2 \sqrt{2} - 1

a + b = 4

a + b = - 4

a + b = 2 \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Cách 1.

\frac{z + 2}{z + 2 i} = \frac{a + 2 + b i}{a + (b + 2) i} = \frac{(a + 2 + b i) (a - (b + 2) i)}{a^{2} + {(b + 2)}^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a + 2 b - (2 a + 2 b + 4) i}{a^{2} + {(b + 2)}^{2}}

\frac{z + 2}{z + 2 i}

là số thuần ảo khi

a^{2} + b^{2} + 2 a + 2 b = 0

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = - 2 a - 2 b \leq \sqrt{8 (a^{2} + b^{2})}

\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq 2 \sqrt{2}

. Dấu

'' =''

xảy ra khi

a = b = - 2

.
Vậy

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq 2 \sqrt{2}

, dấu

'' =''

xảy ra khi

a = b = - 2

.
Do đó môđun của

z

lớn nhất khi

z = - 2 - 2 i

a + b = - 4

.
Cách 2.

\frac{z + 2}{z + 2 i}

là số thuần ảo khi

a^{2} + b^{2} + 2 a + 2 b = 0

. Vậy tập hợp điểm

M

biểu diễn số phức

z

trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm

I (- 1; - 1)

bán kính

R = \sqrt{2}

. Nhận xét

0 (0; 0)

thuộc đường tròn đó,

|z| = O M

lớn nhất khi

M

là điểm đối xứng của

0 (0; 0)

qua

I (- 1; - 1)

.
Vậy

M (- 2; - 2)

z = - 2 - 2 i

a + b = - 4

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học