Cho đa giác đều đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn ?
.
.
.
.
Phân tích: Gọi ,,…, là các đỉnh của đa giác đều đỉnh. Gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều . Các đỉnh của đa giác đều chia thành cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng . Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của . Suy ra góc lớn hơn sẽ chắn cung có số đo lớn hơn . Cố định một đỉnh . Có cách chọn . Gọi ,, là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho cung nhỏ thì cung lớn và tam giác là tam giác cần đếm. Khi đó là hợp liên tiếp của nhiều nhất cung tròn nói trên. cung tròn này có đỉnh. Trừ đi đỉnh thì còn đỉnh. Do đó có cách chọn hai đỉnh ,. Vậy có tất cả tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. @ Chú ý: Phân tích sai lầm khi giải bài tập này: Giả sử thì cung (không chứa điểm ) sẽ có số đo lớn hơn . Tức là cung (không chứa điểm ) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất cung tròn bằng nhau nói trên. Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau: + Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của cung tròn bằng nhau nói trên. Có 2018 cách đánh dấu. + Bước 2: Trong điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao gồm cả hai điểm đầu mút của cung), chọn ra điểm bất kì, có cách chọn, điểm này sẽ tạo thành tam giác có một góc lớn hơn . Vậy có tất cả tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chưa trừ đi các trường hợp trùng nhau! Vậy đáp án đúng là D.