Câu hỏi

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\begin{cases}&2x[1+f(x)]=[f'(x)]^3,\, \forall x\in \mathbb{R}\\ &f(0)=-1\end{cases}$. Tích phân $\displaystyle \int\limits_0^1 f(x) \,\mathrm d x $ bằng

A.

$\dfrac{1}{4}$
B.

$-\dfrac{5}{6}$
C.

$\dfrac{1}{3}$
D.

$-\dfrac{2}{3}$
Đáp án và lời giải
Đáp án:B
Lời giải:Ta biến đổi $f'(x)=\sqrt[3]{2x[1+f(x)]}$ nên $\dfrac{[f(x)+1]'}{\sqrt[3]{1+f(x)}}=\sqrt[3]{2x} $. Lấy nguyên hàm hai vế ta được $\displaystyle \int \dfrac{\mathrm d[f(x)+1]}{\sqrt[3]{1+f(x)}}=\int \sqrt[3]{2x}\mathrm dx$ hay $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{1+f(x)}\right)^2=\dfrac{3}{8}\left(\sqrt[3]{2x}\right)^4+C$. Vì $f(0)=-1$ nên $C=0$. Suy ra $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-1$. Nên $\displaystyle \int\limits_0^1 f(x)\mathrm dx =\int\limits_0^1\left(\dfrac{x^2}{2}-1\right)\mathrm dx=-\dfrac{5}{6}.$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.