Cho hình chóp đều $S . A B C$ , có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $S B, S C$ . Biết mặt phẳng $(A M N)$ vuông góc với mặt phẳng $(S B C)$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $A . B C N M$ .

V = \frac{\sqrt{5} a^{3}}{32}

V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{16}

V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{48}

V = \frac{\sqrt{5} a^{3}}{96}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

H

là hình chiếu của

S

lên

(A B C)

\Rightarrow H

cũng là trọng tâm

Δ A B C

.
Gọi

P

là trung điểm

B C

I = S P \cap M N

.
Suy ra :

I

là trung điểm

M N

cũng là trung điểm

S P

.
Ta có :

Δ S A B = Δ S B C

\Rightarrow A M = A N

\Rightarrow Δ A M N

cân tại

A

\Rightarrow A I

là trung tuyến cũng là đường cao của

Δ A M N

\begin{array}{l} \Rightarrow A I ⊥ M N \\ (A M N) ⊥ (S B C) \\ (A M N) \cap (S B C) = M N \end{array}\} \Rightarrow A I ⊥ (S B C) \Rightarrow A I ⊥ S P

.
Tam giác

S A P

có

A I

là trung tuyến cũng là đường cao nên

Δ S A P

cân tại

A

\Rightarrow S A = A P = \frac{a \sqrt{3}}{2}

\Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{6}

\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{15}}{6} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{24}

.
Lại có:

\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{1}{4}

\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{4} . \frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{96}

.
Vậy :

V_{A . B C N M} = V_{S . A B C} - V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{24} - \frac{a^{3} \sqrt{5}}{96} = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{32}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học