Cho hình chóp đều $S . A B C$ có góc giữa mặt bên và mặt đáy $(A B C)$ bằng $60^{0} .$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B C$ bằng $\frac{3 a \sqrt{7}}{14},$ tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C .$

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{18} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải:
Chọn D

Gọi O là trung điểm AC, x là cạnh của tam giác đều, G là trọng tâm tam giác ABC.
+) Ta có

S O ⊥ A C; B O ⊥ A C

nên góc giữa và là

\overset{⏜}{S O B} = 60^{0}

.
Vì SABC là chóp đều nên

S G ⊥ (A B C) \Rightarrow S G ⊥ G O

.
Xét tam giác vuông SAG có
+) Từ A kẻ AD / / BC suy ra:

d (B C; S A) = d (B C; (S A D)) = d (B; (S A D)) .

Mặt khác ta có

d (G; (S A D)) = \frac{3}{4} d (B; (S A D)) (*)

Vì

\overset{⏜}{B A D} = 120^{0}; \overset{⏜}{B A G} = 30^{0} \Rightarrow \overset{⏜}{G A D} = 90^{0}

hay

A G ⊥ A D (1)

.
Lại có

S G ⊥ A D (2) .

\Rightarrow A D ⊥ (A G S)

. Kẻ

G K ⊥ S A (3) \Rightarrow G K ⊥ A D (4)

.
Từ và suy ra

G K ⊥ (S A D) \Rightarrow d (G; (S A D)) = G K

.
Do đó

d (G; (S A D)) = G K

.
Xét tam giác vuông SGA ta có:

\frac{1}{G K^{2}} = \frac{1}{G A^{2}} + \frac{1}{G S^{2}} = \frac{1}{{(\frac{2}{3} \frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{1}{(\frac{x^{2}}{4})} = \frac{7}{x^{2}} \Rightarrow G K = \frac{x \sqrt{7}}{7}

Từ ta có

\frac{x \sqrt{7}}{7} = \frac{2}{3} \frac{3 a \sqrt{7}}{14} \Rightarrow x = a

. Vậy

S G = \frac{a}{2}

và

S_{△ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Thể tích khối chóp S. ABC là:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S G . S_{△ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} .

Chọn đáp án D

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học