Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp .
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Lời giải
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng thì lần lượt là chiều cao của các mặt bên .
Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên suy ra .
Do đó là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp tam giác .
- TH1: là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Khi đó .
Vậy .
- TH2: là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác
Giả sử là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác . Tam giác đều nên không mất tính tổng quát giả sử là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác .
Khi đó .
Nếu (loại)
Do đó
Có
Vậy .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng thì lần lượt là chiều cao của các mặt bên .
Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên suy ra .
Do đó là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp tam giác .
- TH1: là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Khi đó .
Vậy .
- TH2: là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác
Giả sử là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác . Tam giác đều nên không mất tính tổng quát giả sử là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác .
Khi đó .
Nếu (loại)
Do đó
Có
Vậy .