Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60 °$ . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S . A B C D$ .

\frac{8 π a^{2}}{3}

\frac{5 π a^{2}}{3}

\frac{\sqrt{6} π a^{2}}{3}

\frac{7 π a^{2}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

O = A C \cap B C

. Khi đó

S O

là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông

A B C D

.
Gọi

Δ

là đường trung trực của cạnh

S A

và

I = Δ \cap S O

thì

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C D

.
Theo giả thiết ta có

A B C D

là hình vuông cạnh

a

nên

A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}

. Mà góc giữa

S A

và mặt phẳng

(A B C D)

bằng

60 °

hay

\hat{S A O} = 60 °

\Rightarrow \tan 60 ° = \frac{S O}{A O}

\Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{6}}{2}

.
Ta có

Δ S M I

và

Δ S O A

đồng dạng nên

\frac{S M}{S O} = \frac{S I}{S A} \Rightarrow S I = \frac{S M . S A}{S O}

\Rightarrow S I = \frac{S A^{2}}{2. S O}

.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

R = I S = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.
Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C D

. là

S_{x q} = 4 π . R^{2} = 4 π . {(\frac{a \sqrt{6}}{3})}^{2} = \frac{8 π a^{2}}{3}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi