Câu hỏi

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a$, góc giữa $AC'$ và $(BCC'B')$ bằng $30^ \circ$. Tính thể tích $V$ của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

A.

$V=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{36}$
B.

$V=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$
C.

$V=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{72}$
D.

$V=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{2}}{108}$
Đáp án và lời giải
Đáp án:B
Lời giải:Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $\begin{cases} AH \perp BC \\ AH \perp BB'\end{cases}$. $\Rightarrow AH \perp (BCC'B') \Rightarrow HC'$ là hình chiếu của của $AC'$ trên mặt phẳng $(BCC'B')$. $\Rightarrow \widehat{AC'H}=\left(AC',HC'\right)=\left(AC',(BCC'B')\right)=30^ \circ$. Tam giác $AHC'$ vuông tại $H$ có $\widehat{AC'H}=30^ \circ$ nên $HC'=\dfrac{AH}{\tan 30^\circ}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$. Tam giác $HCC'$ vuông tại $C$ nên $C'C^2=C'H^2-HC^2=\dfrac{9a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4}=2a^2 \Rightarrow CC'=a\sqrt{2}$. Gọi $O$ là tâm của tam giác đều, ta có $OH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}$. Vậy thể tích $V$ của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $$V=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{\pi a^3 \sqrt{3}}{12}.$$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.