Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $E, F$ lần lượt là điểm trên các cạnh $A^{'} D^{'}$ và $A^{'} B^{'}$ sao cho $A^{'} E = \frac{2}{3} A^{'} D^{'}$ và $A^{'} F = \frac{2}{3} A^{'} B^{'}$ . Tính thể tích khối chóp $A . B D E F$ ?

\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

\frac{a^{3}}{8}

\frac{5 a^{3}}{18}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Cách 1.

Ta có

V_{A . B D E F} = V_{A B D F} + V_{A D E F}

.
Mà

V_{A B D F} = \frac{1}{3} . S_{A B F} . D A = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}}{2} . a = \frac{a^{3}}{6}

E F / / B^{'} D^{'} / / B D \Rightarrow V_{A D E F} = V_{A B E F} = \frac{1}{3} . S_{A B F} . E A^{'} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}}{2} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{3}}{9}

Vậy

V_{A . B D E F} = \frac{a^{3}}{6} + \frac{a^{3}}{9} = \frac{5 a^{3}}{18}

.
Cách 2.
00002

Ta có

\{\begin{cases} B F = (B D E F) \cap (A B B^{'} A^{'}) \\ D E = (B D E F) \cap (A D D^{'} A^{'}) \\ A A^{'} = (A D D^{'} A^{'}) \cap (A B B^{'} A^{'}) \end{cases}

Suy ra

B F, D E, A A^{'}

song song từng đôi hoặc đồng quy tại 1 điểm. Do giả thiết

A^{'} E = \frac{2}{3} A^{'} D^{'}

nên ta có

D E

và

A A^{'}

cắt nhau tại

S

. Vậy

B F, D E, A A^{'}

đồng quy tại

S

.
Dễ thấy

V_{A . B C E F} = V_{S . A B D} - V_{S . A E F} = (1 - k) V_{S . A B D}

,
trong đó

k = \frac{V_{S . A E F}}{V_{S . A B D}} = \frac{S F}{S D} . \frac{S E}{S B}

.
Áp dụng Định lý Talet trong trong

Δ S A B

và

Δ S A D

ta có

\frac{S F}{S D} = \frac{A^{'} F}{A D} = \frac{A^{'} F}{A^{'} D^{'}} = \frac{2}{3}

và

\frac{S E}{S B} = \frac{A^{'} E}{A B} = \frac{A^{'} E}{A^{'} B^{'}} = \frac{2}{3} = \frac{S A^{'}}{S A}

.
Từ đó suy ra:

k = \frac{4}{9}

và

S A = 3 A A^{'} = 3 a

.
Ngoài ra,

V_{S . A B D} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B D} = \frac{S A}{3} . \frac{1}{2} . A B . A D = \frac{3 a}{3} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{2}

.
Do đó

V_{A . B C E F} = (1 - \frac{4}{9}) \frac{a^{3}}{2} = \frac{5 a^{3}}{18}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học