Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho . Gọi M là điểm tùy ý trên AO với . Mặt phẳng qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Cho . Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Nhận xét: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Thật vậy Vì Hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. Gọi I là trung điểm của SC, ta có: cân tại I Mà cắt hai mặt phẳng (ABO) và (SBO) theo hai giao tuyến: . cắt hai mặt phẳng (SAO) và (SAB) theo hai giao tuyến: . Vậy MNPQ là hình bình hành. Biết rằng là hình chữ nhật. Ta có: Biết tam giác AMQ vuông cân tại M Và Vậy (với ) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số . và Ta có: Vậy Dấu “=” xảy ra khi M là trung điểm của AO.