Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $a \sqrt{7}$ , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng $60 °$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

3 a^{3}

a^{3}

\frac{21 \sqrt{7} a^{3}}{32}

\frac{63 \sqrt{7} a^{3}}{32}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Gọi khối chóp tam giác đều là

S . A B C

H

là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh

S

M

là trung điểm đoạn thẳng

B C

Vì tam giác

A B C

đều nên

A M ⊥ B C

; tam giác

S B C

cân tại đỉnh

S

nên

S M ⊥ B C

.
Lại có

A M \subset (A B C)

;

S M \subset (S B C)

và

(A B C) \cap (S B C) = B C

nên

(\hat{(A B C), (S B C)})

= (\hat{A M, S M})

= \hat{S M A}

\Rightarrow \hat{S M A} = 60 °

.
Đặt

A B = B C = C A = x

.
Xét tam giác

S B M

vuông tại

M

ta có:

S M = \sqrt{S B^{2} - B M^{2}} = \sqrt{7 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}}

.
Có

A M = \frac{x \sqrt{3}}{2} \Rightarrow H M = \frac{x \sqrt{3}}{6}

.
Xét tam giác

S H M

vuông tại

H

, ta có:

H M = S M . \cos 60 ° \Rightarrow \frac{x \sqrt{3}}{6} = \sqrt{7 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}} . \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x^{2}}{12} = \frac{7 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}}{4}

\Rightarrow \frac{x^{2}}{3} = 7 a^{2} - \frac{x^{2}}{4}

\Rightarrow \frac{7 x^{2}}{12} = 7 a^{2}

\Rightarrow x = 2 \sqrt{3} a

\Rightarrow H M = \frac{x \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} a . \sqrt{3}}{6} = a \Rightarrow S H = H M . \tan \hat{S M H} = a \sqrt{3}

.
Diện tích tam giác

A B C

là

S_{A B C} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{12 a^{2} . \sqrt{3}}{4} = 3 a^{2} \sqrt{3}

.
Thể tích khối chóp

S . A B C

là

V = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S H = \frac{1}{3} . 3 a^{2} \sqrt{3} . a \sqrt{3} = 3 a^{3}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học