Câu hỏi

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, và $N$ là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng$(BMN)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện $(\mathscr{H}_1)$ và $(\mathscr{H}_2)$ , trong đó $(\mathscr{H}_1)$ chứa điểm $C$. Thể tích khối $(\mathscr{H}_1)$ là

A.

$\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$
B.

$\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$
C.

$\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$
D.

$\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$
Đáp án và lời giải
Đáp án:D
Lời giải:Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có $SO \perp (ABCD)$ và $\widehat{SAO}=60^\circ$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ có $\widehat{SAO}=60^\circ$ nên $SO=OA\tan 60^\circ=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. $\Rightarrow V=V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a^2=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$. Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $SD$; $F$ là giao điểm của $BM$ và $AD$. Ta có $V_{(\mathscr{H}_2)}=V_{SABF}+V_{SBEF}+V_{SBNE}$ và $V_{(\mathscr{H}_1)}=V-V_{(\mathscr{H}_2)}$. +) $V_{SABF}=\dfrac{1}{4}V$. +) $\dfrac{V_{SBEF}}{V_{SBDF}}=\dfrac{SE}{SD}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow V_{SBEF}=\dfrac{2}{3}V_{SBDF}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}V=\dfrac{1}{6}V$. +) $\dfrac{V_{SBNE}}{V_{SBCD}}=\dfrac{SN}{SC}\cdot\dfrac{SE}{SD}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow V_{SBNE}=\dfrac{1}{3}V_{SBCD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}V=\dfrac{1}{6}V$. Suy ra $V_{(\mathscr{H}_2)}=\dfrac{1}{4}V+\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V=\dfrac{7}{12}V$. Vậy $V_{(\mathscr{H}_1)}=V-V_{(\mathscr{H}_2)}=V-\dfrac{7}{12}V=\dfrac{5}{12}V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.