Câu hỏi

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính $A'G$.

A.

$A'G=\dfrac{a}{3}$
B.

$A'G=\dfrac{2a}{3}$
C.

$A'G=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D.

$A'G=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $\begin{cases} BC\perp AH \\ BC\perp A'G \end{cases} \Rightarrow BC\perp (A'AH)$. Trong mặt phẳng $(A'AH)$, kẻ $HK\perp A'A$ tại $K$, ta có $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AA'$ và $BC$. Do đó $HK = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.\\ Tam giác $AHK$ vuông tại $K$ nên $AK^2=AH^2-HK^2=\dfrac{3a^2}{4}-\dfrac{3a^2}{16}=\dfrac{9a^2}{16} \Rightarrow AK=\dfrac{3a}{4}$.\\ Hai tam giác $AKH$ vuông tại $K$ và $AGA'$ vuông tại $G$ có $\widehat{A'AH}$ chung nên $\triangle AKH \backsim \triangle AGA'$. $\Rightarrow \dfrac{A'G}{HK}=\dfrac{AG}{AK} \Rightarrow A'G=\dfrac{HK\cdot AG}{AK} = \dfrac{\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{3a}{4}}=\dfrac{a}{3}$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.