Cho $\log_{5} x = \log_{12} y = \log_{84} z = \log_{85} (x + y + z)$ với $x, y, z > 0$ . Hỏi $\log_{x y z} 2020$ nhận giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?

(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

(- 1; 0)

(0; \frac{1}{2})

(\frac{3}{2}; 2)

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt

\log_{5} x = \log_{12} y = \log_{84} z = \log_{85} (x + y + z) = t \Rightarrow \{\begin{cases} x = 5^{t} \\ y = 12^{t} \\ z = 84^{t} \\ x + y + z = 85^{t} \end{cases}

.
Suy ra

5^{t} + 12^{t} + 84^{t} = 85^{t} \Leftrightarrow 5^{t} + 12^{t} + 84^{t} - 85^{t} = 0 \Leftrightarrow {(\frac{5}{85})}^{t} + {(\frac{12}{85})}^{t} + {(\frac{84}{85})}^{t} - 1 = 0 (1)

.
Xét hàm số

f (t) = {(\frac{5}{85})}^{t} + {(\frac{12}{85})}^{t} + {(\frac{84}{85})}^{t} - 1

liên tục trên

ℝ

, có

f^{'} (t) = {(\frac{5}{85})}^{t} \ln \frac{5}{85} + {(\frac{12}{85})}^{t} \ln \frac{12}{85} + {(\frac{84}{85})}^{t} \ln \frac{84}{85} < 0, \forall t \in ℝ

.
Suy ra hàm số

y = f (t)

nghịch biến trên

ℝ

\Rightarrow

Phương trình

f (t) = 0

có tối đa một nghiệm thuộc

ℝ

.
Ta có

f (2) = 0

nên phương trình

(1)

có nghiệm duy nhất

t = 2

.
Khi đó

\log_{x y z} 2020 = \log_{{(5. 12. 84)}^{2}} 2020 = \frac{1}{2} \log_{5040} 2020 \approx 0, 446

.
Vậy

\log_{x y z} 2020

nhận giá trị nằm trong khoảng

(0; \frac{1}{2})

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi