Cho số phức $z = a + b i (a; b \in ℝ)$ thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Đặt $P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

P = {(|z| - 2)}^{2}

P = {({|z|}^{2} - 4)}^{2}

P = {(|z| - 4)}^{2}

P = {({|z|}^{2} - 2)}^{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Từ

z = a + b i (a; b \in ℝ) \overset{}{\to} z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \to z^{2} + 4 = a^{2} - b^{2} + 4 + 2 a b i .

Khi đó

|z^{2} + 4| = 2 |z| \overset{}{\to} |(a^{2} - b^{2} + 4) + 2 a b i| = 2 |a + b i|

\Leftrightarrow {(a^{2} - b^{2} + 4)}^{2} + 4 a^{2} b^{2} = 4 (a^{2} + b^{2})

\overset{}{\to} 8 (b^{2} - a^{2}) = 16 - 4 (a^{2} + b^{2}) + {(a^{2} + b^{2})}^{2} = 16 - 4 {|z|}^{2} + {|z|}^{4}

.
Suy ra

P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12 = {|z|}^{4} - 4 {|z|}^{2} + 4 = {({|z|}^{2} - 2)}^{2} .

Chọn D

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học