Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC$, $CA$, $AB$ và ba góc $A$, $B$, $C$ cùng theo thứ tự đó lập thành các cấp số cộng. Tính $S=\tan \dfrac{3A}{4} \tan\dfrac{3B}{4} \tan\dfrac{3C}{4}$.
A.
$1$
B.
$\sqrt{3}$
C.
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D.
$2\sqrt{3}$
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Do ba góc $A$, $B$, $C$ lập một cấp số cộng nên $B=\dfrac{A+C}{2}$. Lại có $BC$, $CA$, $AB$ lập thành một cấp số cộng nên $2CA=BC+AB$, sử dụng định lí $\mathrm{\sin}$ ta được \begin{align*} &2\sin B=\sin A +\sin C=2\sin\dfrac{A+C}{2} \cos\dfrac{A-C}{2}\\ \Rightarrow &\cos\dfrac{A-C}{2}=1 \Rightarrow A=C. \end{align*} Kết hợp $(1)$, ta suy ra $A=B=C=60^\circ$. Vậy $S=1$.