Có bao nhiêu số hữu tỉ a thuộc đoạn $[- 1, 1]$ sao cho tồn tại số thực b thỏa mãn $\log_{2} (1 - a^{2} - b^{2} + 2 b) = \frac{2^{a}}{4^{a} + 1} + \frac{4^{a}}{2^{a} + 1} + \frac{1}{2^{a} + 4^{a}} - \frac{1}{2} ?$

A.3

B.Vô số

C.0

D.1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Phương pháp:
Đánh giá, chứng minh

\log_{2} (1 - a^{2} - b^{2} + 2 b) = \frac{2^{a}}{4^{a} + 1} + \frac{4^{a}}{2^{a} + 1} + \frac{1}{2^{a} + 4^{a}} - \frac{1}{2} = 1

Cách giải:
Ta có:

\log_{2} (1 - a^{2} - b^{2} + 2 b) = \log_{2} (2 - a^{2} - {(b - 1)}^{2}) \leq \log_{2} 2 = 1 (1)

\frac{2^{a}}{4^{a} + 1} + \frac{4^{a}}{2^{a} + 1} + \frac{1}{2^{a} + 4^{a}} - \frac{1}{2} \geq 1 (2)

Thật vậy, xét hàm số

f (t) = \frac{1}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2}}{t + 1} + \frac{1}{t + t^{2}} - \frac{1}{2}, (\frac{1}{2} < t < 2)

có:

f^{'} (t) = \frac{1 - t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{t^{2} + 2 t}{{(t + 1)}^{2}} - \frac{1 + 2 t}{{(t + t^{2})}^{2}} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{t^{4} + 2 t^{3} - 1 - 2 t}{t^{2} {(t + 1)}^{2}}

= \frac{(t + 1) (t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(t + 1) (t - 1)}{t^{2}} = (t - 1) (t + 1) [\frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}]

= \frac{(t - 1) (t + 1) (t^{2} - t + 1) (t^{2} + t + 1)}{t^{2} {(t^{2} + 1)}^{2}}

Ta có:

f^{'} (t) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} t = 1 (t m) \\ t = - 1 (k t m) \end{array}

BBT:

Từ (1), (2) suy ra:

\log_{2} (1 - a^{2} - b^{2} + 2 b) = \frac{2^{a}}{4^{a} + 1} + \frac{4^{a}}{2^{a} + 1} + \frac{1}{2^{a} + 4^{a}} - \frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \end{cases}

Vậy có 1 giá trị của a thỏa mãn.

\Rightarrow

Chọn đáp án D

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học