. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f (x) = m^{2} (\frac{e^{5 x}}{5} - 16 e^{x}) + 3 m (\frac{e^{3 x}}{3} - 4 e^{x}) - 14 (\frac{e^{2 x}}{2} - 2 e^{x}) + 2020$ đồng biến trên $ℝ$ . Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng:

- \frac{7}{8}

\frac{1}{2}

- 2

- \frac{3}{8}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Đặt

t = e^{x}; t > 0

. Yêu cầu bài toán trở thành: tìm

m

để hàm số

f (t) = m^{2} (\frac{t^{5}}{5} - 16 t) + 3 m (\frac{t^{3}}{3} - 4 t) - 14 (\frac{t^{2}}{2} - 2 t) + 2020

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Ta có

f' (t) = m^{2} (t^{4} - 16) + 3 m (t^{2} - 4) - 14 (t - 2)

\begin{array}{l} Y c b t \Leftrightarrow m^{2} (t^{4} - 16) + 3 m (t^{2} - 4) - 14 (t - 2) \geq 0; \forall t > 0 \\ \Leftrightarrow (t - 2) [m^{2} (t^{2} + 4) (t + 2) + 3 m (t + 2) - 14] \geq 0; \forall t > 0 \end{array}

Điều kiện cần là phương trình

m^{2} (t^{2} + 4) (t + 2) + 3 m (t + 2) - 14 = 0

phải có nghiệm

t = 2

, tức là:

m^{2} (2^{2} + 4) (2 + 2) + 3 m (2 + 2) - 14 = 0 \Leftrightarrow 32 m^{2} + 12 m - 14 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \\ m = - \frac{7}{8} \end{array}

Thử lại:

\begin{array}{l} f' (x) = (t - 2) [\frac{1}{4} (t^{2} + 4) (t + 2) + \frac{3}{2} (t + 2) - 14] \\ = \frac{1}{4} (t - 2) (t^{3} + 2 t^{2} + 10 t - 36) \\ = \frac{1}{4} {(t - 2)}^{2} (t^{2} + 4 t + 18) \geq 0; \forall t > 0 \end{array}

nên

m = \frac{1}{2}

nhận.
Với

m = - \frac{7}{8}

thì

\begin{array}{l} f' (x) = (t - 2) [\frac{49}{64} (t^{2} + 4) (t + 2) - \frac{21}{8} (t + 2) - 14] \\ = \frac{1}{64} (t - 2) (49 t^{3} + 98 t^{2} + 28 t - 840) \\ = \frac{1}{64} {(t - 2)}^{2} (49 t^{2} + 196 t + 420) \geq 0; \forall t > 0 \end{array}

nên

m = - \frac{7}{8}

nhận.
Vậy

S = \{\frac{1}{2}; - \frac{7}{8}\}

. Tổng của tất cả các phần tử thuộc

S

bằng:

\frac{1}{2} - \frac{7}{8} = - \frac{3}{8}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học