Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích $16 π$ . Tìm bán kính đáy $r$ của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

0, 8

B.1,2 m.

C.2 m.

D.2,4 m.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Để ít tốn nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần

S_{tp}

phải nhỏ nhất.
Gọi

h

(h > 0)

là chiều cao của bồn dầu. Ta có:

S_{tp} = 2 π r^{2} + 2 π r h

.
Mặt khác, theo giả thiết:

V = 16 π \Leftrightarrow π r^{2} h = 16 π \Leftrightarrow h = \frac{16}{r^{2}}

\Rightarrow S_{tp} = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{16}{r^{2}} = 2 π (r^{2} + \frac{16}{r}) = 2 π (r^{2} + \frac{8}{r} + \frac{8}{r})

.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:

r^{2}

\frac{8}{r}

\frac{8}{r}

, ta được:

r^{2} + \frac{8}{r} + \frac{8}{r} \geq 3 \sqrt[3]{r^{2} \cdot \frac{8}{r} \cdot \frac{8}{r}} = 12

\Rightarrow S_{tp} \geq 24 π

. Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow r^{2} = \frac{8}{r} \Leftrightarrow r^{3} = 8 \Leftrightarrow r = 2

\Rightarrow \min (S_{tp}) = 24 π

.
Vậy để ít tốn nguyên vật liệu nhất thì

r = 2

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học