Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng cần tìm. Giả sử $(\alpha): ax+by+cz+d=0$, với $a^2+b^2+c^2 > 0$. $\vec{CD}=(4;2;-4)=2(2;1;-2)$ $(\alpha) \parallel CD \Rightarrow 2a+b-2c=0$. $\mathrm{d}\left(A,(\alpha)\right)=3 \Leftrightarrow \dfrac{|a+2b-3c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3$. $\mathrm{d}\left(B,(\alpha)\right)=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{|3a+3b-c+2d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3$. Suy ra $|a+2b-3c+d|=|3a+3b-c+2d|$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I} a+2b-3c+d=3a+3b-c+2d\\a+2b-3c+d=-3a-3b+c-2d\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{I} 2a+b+2c+d=0\\4a+5b-4c+3d=0\end{array}\right.$ $\bullet$ TH1: $\left[\begin{array}{I}2a+b-2c=0\\2a+b+2c+d=0\\|a+2b-3c+d|=3\sqrt{a^2+b^2+c^2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{I} b=2c-2a\\ d=-4c\\|-3a-3c|=3\sqrt{5a^2-8ac+5c^2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow 2a^2-5ac+2c^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}a=2c\\a=\dfrac{1}{2}c\end{array}\right.$ Với $a=2c$, chọn $c=1\Rightarrow a=2$, $b=-2$, $d=-4$. Suy ra $(\alpha):$ $2x-2y+z-4=0$ (loại vì $CD\subset (\alpha)$). Với $a=\dfrac{1}{2}c$, chọn $c=2\Rightarrow a=1$, $b=2$, $d=-8$. Suy ra $(\alpha):$ $x+2y+2z-8=0$ (thỏa mãn $CD\parallel (\alpha)$). $\bullet$ TH2: $\begin{cases} 2a+b-2c=0\\ 4a+5b-4c+3d=0\\|a+2b-3c+d|=3\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=2c-2a\\d=2a-2c\\|-a-c|=3\sqrt{5a^2-8ac+5c^2}\end{cases}$ $\Rightarrow 22a^2-37ac+22c^2=0\Leftrightarrow a=c=0\Rightarrow b=0\quad\text{(loại).}$ Vậy chỉ có $1$ mặt phẳng thỏa mãn.
