5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PT PHÂN THỨC là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:
1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:
Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta luôn có sự phân tích:. Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:
Phương trình dạng:
Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: khi đó phương trình trở thành:
Ta mong muốn vế phải có dạng:
Phương trình dạng:
Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:
Bằng cách khai triển biểu thức:
. Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng: khi đó phương trình trở thành:
Bây giờ ta cần:
Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1)
Giải các phương trình:
a) .
b)
c) .
d) .
Lời giải:
a)
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:
Khi đó phương trình trở thành:
Ta có . Ta viết lại phương trình thành:
. và .
b)
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:
Khi đó phương trình trở thành: .
Ta có .
Ta viết lại phương trình thành:
c) Phương trình có dạng:
Ta tạo ra vế trái dạng:
Tức là thêm vào hai vế một lượng là: phương trình trở thành:. Ta cần . Phương trình trở thành:
d) Phương trình đã cho được viết lại như sau:
Ta tạo ra phương trình:
Ta cần:
Phương trình trở thành:
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình: (1).
b) Giải phương trình:
c) Giải phương trình: (4)
Lời giải:
a) Ta có phương trình (1.1)
. Vậy phương trình có hai nghiệm
b) Phương trình
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm .
c) Ta có phương trình.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn.
Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Phương trình trùng phương: (1)
Với dạng này ta đặt ta chuyển về phương trình: (2)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2)
Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):
. Với dạng này ta chia hai vế phương trình chota được:. Đặt với ta có: thay vào ta được phương trình:
Dạng 3: Phương trình:trong đó a+b=c+d
Phương trình.
Đặt , ta có:
Dạng 4: Phương trìnhtrong đó . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho . Phương trình tương đương:
Đặt . Ta có phương trình:
Dạng 5: Phương trình . Đặt ta đưa về phương trình trùng phương
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1) 2)
3) 4)
Lời giải:
1) Ta thấy không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho ta được:
. Đặt . Ta có:. Với
2) Đặt ta được:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT:
với .
Áp dụng BĐT này với:. Đẳng thức xảy ra khi .
3) Ta có phương trình:. Đặt . Ta được:
* phương trình vô nghiệm
* . Vậy phương trình có hai nghiệm .
4) Phương trình
Vì không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho ta được:
. Đặt , ta có:
*
*
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình:
b) Giải phương trình:
c) Giải phương trình:
d) Giải phương trình:.
Lời giải:
a) Vì không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ta được:
. Đặt
*
* phương trình vô nghiệm
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
. Đặt . Ta có: nên phương trình trở thành: *
* . Vậy phương trình có bốn nghiệm .
c) Phương trình
Đặt , ta có phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm:.
d) Ta có: nên phương trình tương đương
. Đặt . Ta được hệ:
.. Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Dạng 6:
a) Phương trình: với .
Phương pháp giải: Nhận xét không phải là nghiệm của phương trình. Với , ta chia cả tử số và mẫu số cho thì thu được:
. Đặt . Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo .
b) Phương trình: với .
Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức . Ta viết lại phương trình thành:
. Đặt quy về phương trình bậc 2.
Ví dụ 1) Giải các phương trình:
a) . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013).
b) . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010).
c) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008).
d)
Giải:
a) Điều kiện
Ta viết lại phương trình thành . Đặt thì phương trình có dạng
Nếu ta có: . Nếu phương trình vô nghiệm.
b) Để ý rằng nếu là nghiệm thì nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho thì thu được
