Bài tập vận dụng min – max hình học không gian có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc đoạn
SO sao cho
1
3
SI SO . Mặt phẳng thay đổi đi qua B và I . cắt các cạnh , ,SA SC SD
lần lượt tại , ,M N P . Gọi ,m n lần lượt là GTLN, GTNN của .
.
S BMPN
S ABCD
V
V
. Tính
m
n
.
A. 2 . B.
7
5
. C.
9
5
. D.
8
5
.
Lời giải
Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm
Chọn C
+) Đặt
SA
x
SM
SC
y
SN
, , 1x y .
+) Có 2 2.3 6
SB SD SO
SB SP SI
5
SD
SP
.
+) Có 2 6 6
SO
x y y x
SI
, 1 5x .
+)
.65
3
65
3
5
3
20
12
5..1..4
51
2
.
.
xxxxxyxyyx
yx
V
V
ABCDS
BMPNS
+) Xét
2
3
5 6
f x
x x
, với 1 5x .
+) Có
22
3 2 6
.
5 6
x
f x
x x
.
+)
3
51
0'
x
x
xf
.
O
A
B
D
C
S
I
P
M
N
+)
3
1 ;
25
f
1
3
15
f ;
3
5
25
f
3
25
1
15
m
n
9
5
m
n
.
Email:
[email protected]
Câu 2. Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC bằng 3a , . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp .S ABC có thể
tích nhỏ nhất.
A. AB 2 a 2. B.
3 2
.
2
a
AB C. AB 3a. D. AB 3a 2.
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Văn Quý,Tên FB: Quybacninh
Chọn C
Ta có .
Kẻ 3AH SC AH a . Đặt .
. .
1
.
3
S ABC A SBC BCSV V AH S đạt GTNN khi và chỉ khi
1
2
BCSS xy đạt GTNN.
Do mà (theo giả thiết) nên SA ABC . Suy ra SAC
vuông tại A.
Trong có
4 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3
3 3
x x x
AC CH AH x a y xy
y x a x a
Xét hàm
3
2 2
3
3
x
f x x a
x a
. Có
2 4
32 2 2 2
3
' 3
3 3
x x
f x x a
x a x a
.
x
3a
3 2
2
a
'f x - 0 +
f x
9 3
2
a
Vậy:
9 3
2
a
Min xy khi 2 3AB x a
Email:
[email protected]
Câu 3. Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và
mặt bên bằng . Tìm để thể tích .S ABCD là lớn nhất.
A. 030 B. 045 C. 060 D. 075
Lời giải
Chọn B
Tác giả: Phúc Minh Anh,Tên FB: Phúc Minh Anh
Do hình chóp .S ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD
Gọi M là trung điểm của CD ta có CD SHM nên SHM SCD mà
SHM SCD SM nên từ H dựng HK SM tại K thì HK SCD
Hay SK là hình chiếu của SH lên mặt phẳng SCD suy ra , ,SH SCD SH SK HSK do
tam giác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có HSM với 0
2
K
M
H
D
CB
A
S
Đặt 2 2 2SH h HC a h
2 2
2
a h
HM
và 2 22( )BC a h
Tam giác SHM vuông tại H :
2 2
2 2 2 2tan 2 tan
2
HM a h
h a h
SH h
2 2 2
2
(1 2 tan )
1 2 tan
a
h a h
2 2
2 2 2 2 2
2
4 tan
2( ) 4 tan
1 2 tan
a
BC a h h
3 2
2
. 2 3
1 1 4 tan
.
3 3 (1 2 tan )
S ABCD
a
V BC SH
Đặt 21 2 tant Với 2
1
1; tan
2
t
t
Xét hàm số
32 1
( ) .
3
a t
f t
t t
trên 1;D
3 3
3 2
3
( 1)
32
' . .
3 3 2
t t t t
ta a
f t
t t t
' 0 3f t t
Bảng biến thiên
Vậy
34
max
9 3
a
f t khi 3 tan 1t do 0
2
hay 045 .
Mail:
[email protected]
Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA b và vuông góc
với ABCD . Điểm M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM .
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .S ABH theo ,a b .
A.
2
12
a b
. B.
2
24
a b
. C.
2
8
a b
. D.
2
18
a b
.
Tác giả: Nguyễn Anh Quân Face: Nguyễn Quân
Lời giải
Chọn A
4a3
9 3
0 -+
+∞31
f (t)
f '(t)
t
Cách 1.
Do
BH SH
BH SAH BH AH
BH SA
, nên H thuộc đường tròn đường kính AB .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB . Dễ dàng suy ra được
Thể tích .
1 1 .
. . .
3 3 6
S ABH ABH ABH
ab HK
V SA S b S
Do đó để thể tích lớn nhất thì HK lớn nhất. HK lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung
AB , tức là H trùng với tâm hình vuông ABCD hay M trùng với D . Khi đó
2
a
HK .
Vậy
2
max
12
a b
V .
Cách 2.
Do
BH SH
BH SAH BH AH
BH SA
2 2 2 2
.
1 .
. . .
3 6 6 2 12 12
S ABH ABH
b b HA HB b AB a b
V SA S HA HB
Vậy
2
max
12
a b
V khi HA HB H trùng với tâm đáy, hay M D
Email:
[email protected]
Câu 5. Gọi , ,x y z là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật không
có nắp trên (hình vẽ). S là tổng diện tích xung quanh và đáy còn lại. Trong các thùng có cùng
diện tích S , tìm tổng x y z theo S của chiếc thùng có thể tích lớn nhất.
A.
3
.
6
S
x y z B.
5 3
.
6
S
x y z
