Hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao về ứng dụng của tích phân Vũ Hồng Quý là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017
Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 1
Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng . Tại bốn
đỉnh ng ười ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán
kính bằng nhau và bằng . Tính thể tích phần được tô màu khi
quay hình phẳng xung quanh trục .
A. . B.
.
C. . D.
.
Bài toán 2. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo và .
A. . B. . C. . D. .
Bài toán 3. Cho một khối chỏm cầu có bán kính và chiều cao . Tính thể tích của khối chỏm cầu
A.
B.
C.
D.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Biên soạn: Vũ Hồng Quý
R
r
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017
Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 2
Bài toán 4 (Sở GD Hà Tĩnh). Ta vẽ nửa đường tròn như hình
vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi
đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn
đường kính có diện tích là và . Tính thể
tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Bài toán 5 (Quốc học Huế-L2). Người ta dựng một cái
lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như
hình vẽ bên. Đáy của là một hình lục giác đều cạnh
. Chiều cao ( vuông góc với mặt phẳng
đáy). Các cạnh bên của là các sợi dây
nằm trên các đường parabol có trục
đối xứng song song với . Giả sử giao tuyến (nếu có)
của với mặt phẳng qua trung điểm của thì
lục giác đều có cạnh . Tính thể tích phần không gian
nằm bên trong cái lều đó.
A. . B. .
C. . D. .
Bài toán 6 (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ
có chiều cao h và bán kính đáy bằng . Khi đặt thùng nước nằm ngang
như hình thì khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước bằng
(mặt nước thấp hơn trục của hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng
như hình thì chiều cao của mực nước trong thùng là . Tính tỉ số
.
A.
. B.
C.
D.
Hình 2
Hình 1
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017
Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 3
Bài toán 7. Câu lạc bộ bóng đá AS Roma dự định xây dựng
SVĐ mới có tên là Stadio della Roma để làm sân nhà của
đội bóng thay thế cho sân bóng Olimpico. Hệ thống mái của
SVĐ Stadio della Roma dự định được xây dựng có dạng
hai hình elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ
dài trục lớn là mét, độ dài trục nhỏ là mét, hình
elip nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là mét, độ dài trục
nhỏ là mét. Giả sử chi phí vật liệu là mỗi mét
vuông. Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân.
A. . B. .
C. . D. .
Bài toán 8. Một khối nón có bán kính đáy , thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy là một
tam giác đều. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của khối nón
để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).
Kí hiệu là thể tích cái nêm. Thể tích là ?
A. . B. . C.
. D.
.
ĐÁP ÁN
1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017
Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 4
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng . Tại bốn
đỉnh ng ười ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán
kính bằng nhau và bằng . Tính thể tích phần được tô màu
khi quay hình phẳng xung quanh trục .
A. . B.
.
C. . D.
.
Hướng dẫn giải
Trước khi đến với lời giải của bài toán này chúng ta sẽ cùng giải Bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo và .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Xét hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm
và bán kính xung quanh trục .
Phương trình đường tròn
.
.
Đặt
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017
Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 5
Đáp án A.
Vậy ta có công thức tính thể tích của một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ là:
Quay trở lại với Bài toán 1 ta có vật thể được tạo thành khi quay hình
phẳng xung quanh trục có hình dạng như hình bên.
Khi đó thể tích vật thể được tạo thành sẽ bằng tổng thể tích của hình
trụ có bán kính , chiều cao và 2 hình xuyến dạng cái
phao có trừ đi 2 lần thể tích của nửa bên trong hình
xuyến dạng cái phao có .
Vậy .
Với là thể tích một nửa bên trong của hình xuyến dạng cái phao có
.
là thể tích của nửa hình tròn tâm , bán kính quay
xung quanh trục như hình vẽ.
