Sự đơn điệu của hàm số là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu hỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy – ĐăkMil
Trang 1
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn.
• Hàm số ( )y f x= được gọi là đồng biến trên 1 2, K x x K và 1 2 1 2( ) ( ).x x f x f x
• Hàm số ( )y f x= được gọi là nghịch biến trên 1 2, K x x K và 1 2 1 2( ) ( ).x x f x f x
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng K
• Nếu hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng K thì ( )' 0, K.f x x
• Nếu hàm số ( )y f x= nghịch biến trên khoảng K thì ( )' 0, K.f x x
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng K
• Nếu ( ) 0f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( )f x đồng biến trên K .
• Nếu ( ) 0f x
với mọi x thuộc K thì hàm số ( )f x
nghịch biến trên K .
• Nếu ( )' 0f x =
với mọi x thuộc K thì hàm số ( )f x
không đổi trên K (hàm số ( )y f x=
còn gọi là
hàm hằng trên K ).
4. Định lý mở rộng.
• Cho hàm số ( )y f x=
có đạo hàm trên K . Nếu ( )' 0f x ( )( )' 0 ,f x Kx và ( )' 0f x =
chỉ tại
một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
Chú ý: ( ) 0f x =
chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có ( )' 0f x =
tại vô hạn điểm nhưng
các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số 2 sin 2 .y x x= −
Ta có ( )' 2 2cos 2 2 1 cos 2 0, .y x x x= − = −
( )0 1 cos 2 0 y x x k k = − = = có vô hạn điểm làm cho ' 0y = nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm
số 2 sin 2y x x= − đồng biến trên .
B- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP
Quy tắc xác định tính đơn điệu của hàm số :
+ Tìm tập xác định của hàm số
Câu hỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy – ĐăkMil
Trang 2
+ Tính đạo hàm '( )f x . Tìm các điểm ( 1,2,..., )ix i n= mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1. Cho hàm số 3 23 3 2y x x x= − + − + . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( );1− và ( )1;+ .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );1− và nghịch biến trên khoảng ( )1;+ .
D. Hàm số luôn đồng biến trên .
Lời giải. Chọn A.
TXĐ: D = . Ta có
2 2 2' 3 6 3 3( 2 3) 3( 1) 0 , y x x x x x x= − + − = − − + = − −
Câu 2. Hỏi hàm số
3
23 5 2
3
x
y x x= − + − nghịch biến trên khoảng nào?
A. (5; )+ B. ( )2;3 C. ( );1− D. ( )1;5
Lời giải.Chọn D.
TXĐ: D = .
2
1
' 6 5 0
5
x
y x x
x
=
= − + =
=
Trên khoảng ( )1;5 , ' 0y nên hàm số nghịch biến
Câu 3. Cho hàm số 3 23 9 15y x x x= + − + . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )3;1− .
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số đồng biến trên ( )9; 5− − .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )5;+ .
Lời giải. Chọn B.
TXĐ: D = . Do
2' 3 6 9 3( 1)( 3)y x x x x= + − = − +
' 0y = có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số không đồng biến trên .
Câu 4. Cho hàm số 4 24 10y x x= − + + và các khoảng sau:
(I): ( ); 2− − ; (II): ( )2;0− ; (III): ( )0; 2 ;
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
Câu hỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy – ĐăkMil
Trang 3
A. Chỉ (I). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (I) và (III).
Lời giải. Chọn D.
TXĐ: D = .
3 2' 4 8 4 (2 )y x x x x= − + = − . Giải
0
' 0
2
x
y
x
=
=
=
Lập bảng biến thiên ta thấy, trên các khoảng ( ); 2− − và ( )0; 2 , ' 0y nên hàm số đồng biến.
Câu 5. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ( );1 1;− + .
B.Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ( );1 1;− + .
C.Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( );1− và ( )1;+ .
D.Hàm số đồng biến trên các khoảng ( );1− và ( )1;+ .
Lời giải. Chọn D.
TXĐ: \ 1D = . Ta có
2
2
' 0, 1
(1 )
y x
x
=
−
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1)− và (1; )+
Câu 6. Cho hàm số
3 1
4 2
x
y
x
−
=
− +
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( );2− và ( )2;+ .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ); 2− − và ( )2;− + .
Lời giải. Chọn B.
TXĐ: \ 2D = . Ta có
2
10
' 0,
( 4 2 )
y x D
x
= −
− +
.
Câu 7. Hỏi hàm số
2 3 5
1
x x
y
x
− +
=
+
nghịch biến trên các khoảng nào ?
A. ( ; 4)− − và (2; )+ . B. ( )4;2− .
C. ( ); 1− − và ( )1;− + . D. ( )4; 1− − và ( )1;2− .
Lời giải. Chọn D.
Câu hỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy – ĐăkMil
Trang 4
TXĐ: \ 1D = − .
2
2
2 8
'
( 1)
x x
y
x
+ −
=
+
. Giải
2
2
' 0 2 8 0
4
x
y x x
