Tài liệu bồi dưỡng Đội tuyển VMO Tuyển chọn theo chuyên đề các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển VMO File word có lời giải chi tiết

WORD 190 9.670Mb

Tài liệu bồi dưỡng Đội tuyển VMO Tuyển chọn theo chuyên đề các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển VMO File word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập

Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách


Nội dung tóm tắt

1. Bất đẳng thức Bài 1. 1. Cho x,y là các số thực dương sao cho 2x + y và 2y + x khác 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2. Cho a , b, c, > 0 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Lời giải 1. Ta sẽ chứng minh : (đúng). Chứng minh tương tự ta được: . Vậy GTNN của P là -1 khi hoặc 2. Theo BĐT Cauchy-Schwartz thì Một điều luôn đúng vì và . Vậy BĐT được chứng minh, Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1. Đặt ab + bc + ca = x , abc = y . BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta chứng minh được Bài 2 Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + x = 3. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Lời giải Lời giải sau đây trích từ trang nangkhieutoan.com Dễ dàng tìm được các bộ số để BĐT không đúng với k = 1 và k =2. Nhận xét rằng nếu BĐT đúng với k = 3 thì BĐT sẽ đúng với mọi k > 3 vì Điều này gợi ý cho ta chứng minh rằng k = 3 là số nhỏ nhất cần tìm, bằng cách chứng minh. (1.1) Thật vậy, giả sử z là số nhỏ nhất trong ba số x , y , z suy ra .Ta có Khi đó: (1.2) Để ý rằng: Đồng thời: Nên (1.2) đúng, và BĐT ban đầu được chứng minh. Vậy k =3 là số nguyên dương nhỏ nhất để BĐT ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Bài 3. Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a, b, c (THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải Không mất tính tổng quát giả sử Khi đó Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho : Cho c = 0, a = 2b ta được Ta sẽ chứng minh với mọi Ta có nên BĐT đầu tiên đúng . Đồng thời nên BĐT thứ hai cũng đúng. Bài 4 1. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh bất đẳng thức 2. Cho x , y, z không âm và thỏa . Chứng minh bất đẳng thức (Bà Rịa – Vũng Tàu) Lời giải Trước hết xin phát biểu không chứng minh một bổ bề quen thuộc. Bổ đề 1. Co x, y, z > 0. Khi đó Trở lại bài toán. 1. Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta chứng minh được Nhưng điều này đúng vì và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1. 2. Chúng tôi xin nêu hai cách chứng minh cho câu 2.  Cách 1: Ta có Áp dụng bất đẳng thức AM- GM và ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Do đó ta sẽ chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có Áp dụng BĐT AM- GM và ta có Từ đó ta thấy đpcm là đúng.  Cách 2: Ta có Do đó cần chứng minh Ta có : Do đó Do đó Hay là chứng minh Ta có : Suy ra : Mặt khác: Suy ra Do đó ta có đpcm. Bài 5. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (Bắc Ninh) Lời giải Ta có Bây giờ ta sẽ chứng minh Ta có : Nên điều trên sẽ đúng nếu ta sẽ chứng minh: Để ý rằng (1.3) Mặt khác (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta được : Vậy GTLN của T là khi a = b = c = 3. Bài 6 Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Bến Tre) Lời giải Ta có : Vậy GTNN của P là -1008 khi Bài 7 Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng   (đúng) Bài 8 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng : (Đồng Nai) Lời giải Ta có :Bài 9 Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của (Hà Nam) Lời giải Chuẩn hóa a + b + c = 3. Ta sẽ chứng minh rằng Điều này tương đương với , hiển nhiên đúng. Cộng lại ta được Vậy GTNN của P bằng 2 kho có một số bằng 0 và hai số bằng nhau. Nhận xét 1 Một số bạn sẽ giải bài này như sau: Ta có phải xét trường hợp có một số bằng 0., vì để ý rằng khi nhân cả tử và mẫu của phân thức cho một số, số đó phải khác 0. Bài 10 Cho a, b , c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + 2abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của (Hà Nội) Lời giải Dự đoán GTNN của P là 3 đạt tại vậy ta sẽ cố gắng chứng minh BĐT Từ giả thiết suy ra tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho BĐT cần chứng minh trở thành Để ý rằng Nên BĐT sẽ đúng nếu ta chứng minh được Nhưng dây chính là BĐT Nesbitt quen thuộc, vì vậy BĐT ban đầu đúng. Nhận xét 2 Cách đặt khá kinh điển trong việc đổi biến và thuần nhất hóa để chứng minh BĐT, và nó giúp đưa về các dạng bài toán quen thuộc . Ngoài ra chúng ta còn những cách khác cho các loại giả thiết tương tự. Cụ thể như sau, nếu x , y, z là các số dương thì :  với A, B, C là ba góc trong một tam giác.  với a, b, c > 0. Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra các cách đặt trên. Ngoài ra còn một số bài toán khác liên quan đến cách đổi biến lượng giác như : 1. (USA 2001) Cho a, b, c không âm thỏa mãn .Chứng minh rằng: 2. (Iran 2002) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng : Bài 11 Cho các số thực dương a, b, c dương và thỏa mãn Chứng minh rằng (Hà Tĩnh) Lời giải Đặt thì x + y + z = 3. BĐT cần chứng minh tương đương với Thep BĐT AM – GM thì Mặt khác theo BĐT Schur thì Suy ra Vậy BĐT ban đầu được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c = 1. Nhận xét 3. Bằng cách tương tự ta có thể giải được bài toán tổng quát sau: Cho các số thực dương a, b, c và thỏa mãn Chứng minh rằng Bài 12 Cho thỏa mãn a + b+ c = 6. Chứng minh rằng (Hải Phòng) Lời giải Đặt Từ giả thiế