Tài liệu lý thuyết và bài tập tự luyện ôn tập kiểm tra Học kỳ 2 Giải tích lớp 12 Trần Thông File word có đáp án chi tiết.doc là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
77
A.TÍCH PHÂN
PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Nguyên hàm
1.Định nghĩa. Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, nếu F'(x) = f(x), với mọi .
Định lý. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là , trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp u=u(x)
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
2. Một số tính chất của nguyên hàm
Định lý. Nếu F(x), G(x) tương ứng là một nguyên hàm của f(x), g(x) thì
a.
b. ;
c.
3. Một số phương pháp đổi nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì .
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1.
Cách giải: Đặt u = P(x), (dv = sin(ax+b)dx, dv = cos(ax+b)dx)
Dạng 2.
Cách giải: Đặt u = ln(ax+b), dv = P(x)dx.
II. Tích phân
1. Định nghĩa Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp a < b thìlà tích phân của f trên [a;b].
2. Tính chất Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.
3. Một số phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong đó f(x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J; .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1: Đặt ẩn phụ u = u(x) (u là một hàm của x)
Cách 2: Đặt ẩn phụ x = x(t) (x là một hàm số của t)
Đối với nguyên hàm nói chung và tích phân nói riêng cần chú ý một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ như sau :
Dấu hiệu Có thể chọn
Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu
Hàm Đặt
Hàm Đặt
Hàm Đặt
Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x
Hàm lẻ với cosx Đặt t = sin x
Hàm chẵn với sinx và cosx t = tan x
hoặc Đặt x = a cos 2t
Đặt
Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai số thuộc K thì .
4. Ứng dụng của tích phân
Tính diện tích hình phẳng
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải "phá" dấu giá trị tuyệt đối.
Nếu thì
Nếu thì
Chú ý: Muốn "phá" dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như sau:
- Cách 1: Dùng định lí "dấu của nhị thức bậc nhất", định lý "dấu của tam thức bậc hai" để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình trên đoạn [a;b].
- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.
Nếu trên đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "trên" trục hoành thì
Nếu trên đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "dưới" trục hoành thì
- Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a;b] thì ta có
Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a, b là . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một hàm liên tục.
Tính thể tích khối tròn xoay.
Hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .
PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ
Bài 1: Tính tích phân
Hướng dẫn: .
Bài 2: Tính tích phân .
Hướng dẫn: Ta có
.
Bài 3: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Ta có: .
Bài 4: Tính nguyên hàm
Hướng dẫn: Ta có:
Bài 5: Tính tích phân
Hướng dẫn: Đặt .
Bài 6: Tính tích phân
Hướng dẫn: Đặt .
Bài 7: Tính tích phân
Hướng dẫn: Đặt .
Bài 8: Tính tích phân
Hướng dẫn: Ta có: . Đặt
.
Bài 9: Tính tích phân
Hướng dẫn: Ta có . Đặt
. Đặt .
Dạng 2: Tích phân hàm vô tỷ
Bài 1: Tính nguyên hàm .
Hướng dẫn: Ta có
Lại có
.
Bài 2: Tính nguyên hàm
Hướng dẫn: Ta có
Lại có:
Đặt
Đối với
Vậy
Bài
