TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ GOC HINH 9 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và các cạnh cắt đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp (Hình). Trong trường hợp các góc nội tiếp có số đo không vượt quá thì số đo của chúng bằng nửa số đo của góc ở tâm, cùng chắn một cung. Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Vì thế, nếu những góc này cùng chắn một cung (hoặc chắn những cung bằng nhau) thì chúng bằng nhau, nếu các góc nội tiếp này bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau.
Trên hình vẽ ta có:
- Cho đường tròn và dây cung . Từ điểm ta kẻ tiếp tuyến với đường tròn, khi đó được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung (Hình). Cũng như góc nội tiếp, số đo góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn : .
Chú ý: Việc nắm chắc các khái niệm, định lý, hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có thể giúp chúng ta so sánh số đo các góc, từ đó chứng minh được các đường thẳng song song với nhau, các tam giác bằng nhau, các tam giác đồng dạng với nhau…
I. Góc nội tiếp đường tròn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn. Trên hình vẽ: . - Các góc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Trên hình vẽ: .
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên cạnh huyền của tam giác vuông về phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểm . Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .
Lời giải:
Vì là tâm của hình vuông nên .
Lại có suy ra bốn điểm
cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Đối với đường tròn này ta thấy (cùng chắn ). Mà . Do , nên . Vậy , nghĩa là là tia phân giác của góc vuông (đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Từ đỉnh ta kẻ đường cao ( thuộc ). Chứng minh rằng .
Lời giải:
Kẻ đường kính của đường tròn . Ta thấy (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó (1).
Theo giả thiết bài ra, ta có: (2). Lại vì (cùng chắn ) (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra (đpcm).
Lưu ý: Cũng có thể giải bài toán theo hướng sau: Gọi là giao điểm của tia với đường tròn , chứng tỏ tứ giác là hình thang cân. Từ đó suy ra , dẫn đến , hay .
Ví dụ 3. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn . Trên cung không chứa ta lấy điểm bất kỳ ( khác và khác ). Các đoạn và cắt nhau tại .
a) Giả sử là một điểm trên đoạn sao cho . Chứng minh rằng đều.
b) Chứng minh rằng .
c) Chứng minh hệ thức .
Lời giải:
a) Trước tiên ta nhận thấy rằng tam giác cân tại . Mặt khác, (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn ). Vậy nên tam giác đều. b) Ta đã có , vậy để chứng minh ta sẽ chứng minh . Thật vậy, xét hai tam giác và có: (giả thiết), (do tam giác đều). Lại vì , nên . Từ đó (c.g.c), dẫn đến (đpcm).
c) Xét hai tam giác và ta thấy , (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ) suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn ). Từ đó (g.g) , hay . Theo kết quả câu , ta có nên . Hệ thức này tương đương với (đpcm).
Ghi chú:
- Tứ giác có tính chất (*) nói ở ví dụ trên được gọi là tứ giác điều hòa. Loại tứ giác đặc biệt này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng khác.
- Nếu hệ thức (*) dưới dạng và nhớ lại tính chất đường phân giác trong tam giác ta có thể nêu thêm một tính chất của tứ giác điều hòa.
- Tứ giác là một tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các đường phân giác của góc và cắt nhau tại một điểm trên đường chéo .
- Tứ giác là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi đường phân giác của góc và cắt nhau trên đường chéo .
Ví dụ 4) Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn . Đường phân giác trong góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Gọi là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác . Chứng minh
Giải: Ta luôn có do là phân giác trong góc . Ta sẽ chứng minh tam giác cân tại .
Thật vậy ta có: .
Mặt khác
(Góc nội tiếp chắn cung ) mà
,
(Tính chất phân giác) suy ra
. Nhưng
(Tính chất góc ngoài). Như vậy tam giác cân tại
Nhận xét: Thông qua bài toán này ta có thêm tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của phân giác trong góc với
Ví dụ 5). Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn và . Lấy điểm thuộc cung không chứa điểm . Vẽ lần lượt vuông góc với
Giải:
Trong bài toán có các tỷ số độ dài
ta nghỉ đến các tam giác đồng dạng
và định lý Thales. Cách 1: Dựng đường thẳng qua
song song với cắt tại . Gọi
là giao điểm của và
Ta có: .
Ta có , và là hai đường cao tương ứng nên: , chứng minh tương tự ta cũng có: . Cộng hai đẳng thức trên ta có:
Cách 2: Ta thấy là các đư
