Tổ hợp và xác suất là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN
99
Chủ đề 6: TỔ HỢP & XÁC SUẤT
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM:
a. QUY TẮC CỘNG:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có n cách thực hiện
phương án A và m cách thực hiện phương án B . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n m cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án 1 2, ,..., kA A A . Có 1n cách thực hiện
phương án 1A , 1n cách thực hiện phương án 2A ,...và kn cách thực hiện phương án kA . Khi đó công việc có thể
thực hiện bởi 1 2 ... kn n n cách.
b. QUY TẮC NHÂN:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo .n m cách.
TỔNG QUÁT
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn 1 2, ,..., kA A A . Công đoạn 1A có thể thực hiện theo 1n cách,
công đoạn 2A có thể thực hiện theo 2n cách,..., công đoạn kA có thể thực hiện theo kn cách. Khi đó công việc
có thể thực hiện theo 1 2. ... kn n n cách.
2. HOÁN VỊ:
a.Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1).
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Tập A
b.Định lý :
Ký hiện số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:
nP n! (2)
n phần tử
Hoán vị
Nhóm có thứ tự
Đủ mặt n phần tử
của A
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN
100
3.CHỈNH HỢP:
a.Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k ( )1 nk phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Tập A
b.Định lý:
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là knA , ta có công thức:
kn
n!A
(n k)!
(3)
4. TỔ HỢP:
a.Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con của gồm k phần tử (1 k n ) của A
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Tập A
b. Định lý :
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là knC , ta có công thức:
kn
n!C
k!(n k)!
(4)
n phần tử
Chỉnh hợp
Nhóm có thứ tự
Gồm k phần tử
được lấy từ n
phần tử của A
n phần tử
Tổ hợp
Nhóm không có
thứ tự
Gồm k phần tử
được lấy từ n
phần tử của A
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN
101
c. Hai tính chất cơ bản của số knC
a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n . Khi đó
k n kn nC C
b) Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1 k n . Khi đó
11
k k k
n n nC C C
LƯU Ý QUAN TRỌNG:
Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài toán về những hành động như :
lập các số từ các số đã cho, sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định ,
lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho v.v...
1. Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi
giai đọan rồi áp dụng quy tắc nhân.
2. Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử ,
thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp.
3. Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử
thì đây là những bài toán về tổ hợp.
5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN
Định lý:
0 0 1 1 1 0
0
... ...
n n n k n k k n n
n n n n
n
k n k k
n
k
a b C a b C a b C a b C a b
C a b
6. XÁC SUẤT
a) Định nghĩa
Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là
một biến cố liên quan với phép thử T và A là tập các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số,
kí hiệu là AP , được xác định bởi công thức
AAP
Như vậy, việc tính xác suất của biến cố A trong trường hợp nầy được quy về việc đếm số kết quả có thể của
phép thử T và số kết quả thuận lợi của A
