Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
LỜI NÓI ĐẦU
Ngay từ năm 1736, nhà toán học Euler đã giải quyết thành công bài toán tổ hợp về bảy cây
cầu ở thành phố Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên sông Pregel, bao gồm
hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu. Bài toán được đặt ra là “Có thể
đi theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một lần rồi quay lại điểm xuất phát hay
không ?”. Và kể từ đó đến nay, trải qua nhiều thăng trầm của lịch sử, lí thuyết tổ hợp vẫn phát
triển mạnh mẽ, đóng góp nhiều cho sự phát triển của khoa học và kĩ thuật hiện đại. Chúng ta
thường gặp các bài toán tổ hợp trong các mô hình sản xuất như “Lập lịch cho một cơ quan”,
xuất hiện trong giải pháp an toàn giao thông với các mô hình “Đặt các trạm xe bus tối ưu nhất
trong một thành phố”, vào quản lí con người với mô hình “Lập thời khoá biểu và phân việc”,. . . ,
hoặc có thể ứng dụng gián tiếp trong các thuật toán giải các bài toán tối ưu trong các phần
mềm máy tính như thuật toán tìm kiếm của Google, Yahoo,. . . , hay các phần mềm ứng dụng
mà chúng ta vẫn đang sử dụng hàng ngày. Chính vì vậy toán tổ hợp luôn dành được sự quan
tâm rất lớn từ các nhà toán học, các thầy, cô giáo và các bạn học sinh yêu thích môn toán.
Toán tổ hợp là một lớp các bài toán khó, thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cấp
tỉnh, thành phố, cấp quốc gia, quốc tế. Do đó, giải quyết thành thạo và có vốn kiến thức chắc
chắn, sâu rộng về toán tổ hợp là niềm mong ước của nhiều giáo viên và học sinh. Mặc dù toán
tổ hợp quan trọng như vậy nhưng các tài liệu về toán tổ hợp, rời rạc dành cho học sinh giỏi ở
Việt Nam vẫn còn rất ít và hạn chế. Xuất phát từ thực tế trên và với mục đích cung cấp tài
liệu chất lượng gồm nhiều chuyên đề toán tổ hợp nâng cao giúp cho việc học tập của học sinh
tốt hơn và các thầy, cô giáo có thêm tài liệu giảng dạy, nhóm biên soạn bao gồm các giáo viên,
các sinh viên hệ cử nhân tài năng toán, các học sinh giỏi quốc gia, quốc tế đến từ mọi miền
của Tổ quốc đã cùng nhau viết nên các chuyên đề, các bài giảng về toán tổ hợp nâng cao.
“Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp” ra đời đánh dấu cho thành công lớn trong việc chia sẻ tri
thức cho cộng đồng các bạn yêu thích môn toán, mà ở đó những kinh nghiệm làm bài, những
cách giải hay và sáng tạo có được từ sự đúc kết trong thời gian học tập của nhiều thành viên
đã và đang là học sinh giỏi quốc gia, quốc tế hay đầy tính sư phạm của các giáo viên tích lũy
được trong quá trình tham gia học tập, giảng dạy. Tuyển tập được hoàn thành và gửi tới bạn
đọc trong dịp Tết Nguyên Đán, hi vọng nó sẽ là một món quà năm mới thực sự hữu ích với
bạn đọc trên khắp đất nước.
Để hoàn thành cuốn sách, nhóm biên tập xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các
bạn học sinh, sinh viên đã tham gia gửi các chuyên đề, các bài toán trên diễn đàn MathScope.
Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ban quản trị diễn đàn MathScope và thầy giáo,
TS. Trần Nam Dũng - ĐHKHTN - ĐHQG TP. Hồ Chí Minh đã cổ vũ, động viên và cho nhiều
nhận xét có giá trị để cuốn sách vừa có giá trị chuyên môn cao mà lại miễn phí về tài chính
với bạn đọc.
3
4
Do thời gian gấp rút và trình độ có hạn, dù rất cố gắng nhưng sai sót là khó tránh khỏi. Mọi
ý kiến đóng góp để cuốn sách hoàn thiện hơn xin gửi về địa chỉ
[email protected] hoặc
[email protected].
Hà Nội, ngày 22 tháng 1 năm 2012 (ngày Tất niên năm Nhâm Thìn)
Đại diện nhóm biên soạn
Chủ biên
Hoàng Minh Quân – Phan Đức Minh
MỤC LỤC
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Sử dụng phép đếm để chứng minh các đẳng thức tổ hợp
Nguyễn Tất Thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Phương pháp đếm bằng hai cách
Phan Đức Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Phương pháp xây dựng mô hình trong giải toán tổ hợp
Lê Phúc Lữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Phương pháp hàm sinh
Hoàng Minh Quân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Phương pháp hàm sinh
Lê Hữu Phước, Trần Nguyễn Quốc Cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Giải toán tổ hợp bằng đại lượng bất biến
Trần Gia Huy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Một số bài toán tô màu
Lê Tuấn Linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Cực trị và bất đẳng thức rời rạc
Nguyễn Hiền Trang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
