ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM PHIẾU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY BÀI 2. CỰC TRỊ PHIẾU 4. VẬN DỤNG CAO là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com (http://dethithpt.com)TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP
BÀI 2. CỰC TRỊ
PHIẾU 4. VẬN DỤNG CAO
BÀI 2. CỰC TRỊ
PHIẾU 4. VẬN DỤNG CAO – CỰC CAO
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
Phương pháp . Tiến hành theo các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f.
Bước 2. Tính .
Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và .Thế thì điểm là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm đổi dấu khi x đi qua ”.
Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có).
Chú ý:
* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét.
* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:
Định lí 1: Cho hàm đa thức, giả sử khi đó nếu là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: và gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.
Chứng minh: Giả sử là điểm cực trị của hàm số, vì là hàm đa thức nên (đpcm) .
Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ khi đó nếu là điểm cực
trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: .
Và là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị.
Chứng minh: Ta có
. Giả sử là điểm cực trị của hàm số thì là nghiệm của phương trình .
Bài toán 01:
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU.
Phương pháp .
Giả sử
Hàm số có hai điểm cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt : .
Hàm số có hai điểm cực trị âm có hai nghiệm âm phân biệt
.
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu có hai nghiệm trái dấu
.
Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu .
Ví dụ : Định m để hàm số có cực trị trái dấu .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định
Ta có:
Hàm số có cực trị trái dấu nhau khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Vậy, với thì hàm số có cực trị trái dấu nhau .
Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
Phương pháp .
Giả sử
Hàm số có hai cực trị nằm về phía đối với tung .
Hàm số có hai cực trị nằm về phía đối với trục tung .
Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành .
Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành .
Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành .
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số ( là tham số) có đồ thị là Xác định để có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định
Phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành:
hoặc
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi có nghiệm phân biệt tức phương trình có nghiệm phân biệt khác
Vậy, với thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
Ví dụ 2 : Cho hàm số ( là tham số) có đồ thị là Xác định để có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định
Ta có:
Đồ thị có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung có nghiệm phân biệt cùng dấu
Vậy, với thì hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Ví dụ 3 : Cho hàm số ( là tham số) có đồ thị là . Xác định để có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định
Ta có:
Đồ thị có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung có nghiệm trái dấu .
Vậy, với có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.
Phương pháp .
1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trướC.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
– Giải điều kiện: .
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trướC.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: .
3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
Cực trị hàm đa thức bậc 3:
1. Hàm số:
2. Đạo hàm:
3. Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Hoành độ của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình .
4. Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử khi đó có 2 nghiệm phân biệt với
và hàm số đạt cực trị tại
Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm.
Bước 1: Thực hiện phép chia cho ta có:
hay với bậc
Bước 2: Do
Hệ quả:
Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là:
Đối với hàm số tổng q
