Nội dung bài giảng
a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn các hệ thức :
x1 + x2 + x1x2=0;
m(x1 + x2 ) - x1x2 = 3m + 4
b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.
Đáp án
a) Đặt S = x1 + x2 và P = x1x2
Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)
\(\left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\)
+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
+ Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm \((S, P) = ({{3m + 4} \over {m + 1}};\,{{ - 3m + 4} \over {m + 1}})\,\,\,\,(2)\)
Vậy phương trình cần tìm là:
\(\eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)
Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:
\(\eqalign{
& \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \cr&= (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - {4 \over 3} \hfill \cr
m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr} \)
Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).
b) Ta có:
\(S = - P = {{3m + 4} \over {m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\)
Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra:
+ Nếu
\(\left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\)
thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu
+ Nếu \(m = - {4 \over 3}\) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0
+ Nếu \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.
+Nếu \( - {4 \over 3} < m < - {8 \over 7}\) thì phương trình (3) vô nghiệm.