Nội dung bài giảng
Bài 19. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Hướng dẫn trả lời
Giả sử \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) và \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} ,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \) suy ra
\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow 0 \cr} \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \) , tức là \(M \equiv N\).
Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.
Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau, suy ra
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} \).