Nội dung bài giảng
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( - 5;6), B( - 4; - 1), C(4;3)
a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất
Gợi ý làm bài
a) Gọi H(x; y). Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = (x + 5;y - 6) \cr
& \overrightarrow {CH} = (x - 4;y - 3) \cr} \)
Và
\(\eqalign{
& \overrightarrow {BC} = (8;4) \cr
& \overrightarrow {AB} = (1; - 7) \cr} \)
H là trực tâm giác ABC
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
8(x + 5) + 4(y - 6) = 0 \hfill \cr
(x - 4) - 7(x - 3) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy H(-3;2)
b) Vì M thuộc trục Oy nên M(O;y).
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là \(\left( { - {5 \over 3};{8 \over 3}} \right)\) và \(d = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)
d đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG \bot Oy \Leftrightarrow y = {y_G} \Leftrightarrow y = {8 \over 3}\)
Vậy \(M(0;{8 \over 3})\)