Nội dung bài giảng
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( - 1;1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.
Gợi ý làm bài
A(2;4), B(3;1), C( - 1;1)
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {4 \over 3} \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(G\left( {{4 \over 3};2} \right)\)
*Goi H(x; y), ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (1; - 3);\overrightarrow {BC} = ( - 4;0)\)
\(\overrightarrow {CH} = (x + 1;y - 1);\overrightarrow {AH} = (x - 2;y - 4)\)
H là trực tâm tam giác ABC
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
AH \bot BC \hfill \cr
CH \bot AB \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4(x - 2) = 0 \hfill \cr
(x + 1) - 3(y - 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right.\)
*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr
{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy: I(1; 2)
b) Ta có: \(\overrightarrow {IA} = (1;0),\overrightarrow {IG} = \left( {{1 \over 3};0} \right)\)
=>\(\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.