Nội dung bài giảng
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với \(b \ne c\)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\)
Gợi ý làm bài
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = cos\widehat {DAC}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}} \over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}} \over {2AC.AD}} \cr
& \Rightarrow {{{c^2} + {k^2} - {d^2}} \over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} - {e^2}} \over {2b.k}} \cr
& \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*) \cr} \)
Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \Rightarrow bd = ce$\), từ (*) ta suy ra \(\left( {b - c} \right)\left( { - {k^2} + bc - be} \right) = 0\)
\( \Rightarrow {k^2} = bc - de\) (vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)