Nội dung bài giảng
Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)
a) \((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\);
b) \(|mx + 2x – 1| = | x|\);
c) \((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\)
d) \({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\)
e) \({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\)
f) \(|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\)
Giải
a) Ta có:
(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \hfill \cr
(2m - 1)x = - m \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(m = {1 \over 2}\) phương trình có nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2} = {7 \over 4}\)
+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\)
b) Ta có:
\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\)
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x = - {1 \over 2}\)
+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\)
c) Điều kiện: x ≥ 1
Ta có:
\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
mx + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
+ Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m ≠ 0 (1) ⇔ \(x = - {1 \over m}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \)
Do đó:
+ Với -1 < m < 0 ; \(S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\)
+ Với
\(\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr
m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \)
d) Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \Leftrightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr
& \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)
Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \)
a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\)
e) Điều kiện: x ≠ -3
Phương trình đã cho tương đương với:
(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - {5 \over 2}\)
i) Với \(m \ne - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii) Với \(m = - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm
f) Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1
Ta có:
\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,(l) \hfill \cr
2ax = a - 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy a = 0 ; S = Ø
\(a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)