Nội dung bài giảng
Bài 5. Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết
a) \(\sin a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)
b) \(\cos a = - {5 \over {13}}\) và \({\pi \over 2} < a < π\)
c) sina + cosa = \({1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4}\) < a < π
Giải
a) \(\sin a = -0,6\) và \(\pi < a < {{3\pi } \over 2}\)
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) (1) (công thức)
Mà \(\pi < a < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos a < 0\)
và \(\sin a = -0,6 \Rightarrow \cos a = - {4 \over 5}\)
\((1) \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = 2.( - 0,6).\left( { - {4 \over 5}} \right) \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = {{24} \over {25}}\)
\(\cos 2a = 1 - 2\sin^2a = 1 - 2{\left( { - {3 \over 5}} \right)^2} = 1 - {{18} \over {25}}\)
\(\cos 2a = {7 \over {25}}\)
\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = {{24} \over {25}}.{{25} \over 7} = {{24} \over 7}\)
b) \(\cos a = - {5 \over {13}}\) và \({\pi \over 2} < a < \pi\)
Vì \({\pi \over 2} < a < \pi\) nên \(\sin a > 0; \tan a < 0\)
và \(\cos a = - {5 \over {13}}\) nên \(\sin {\rm{a}} = {{12} \over {13}}\)
Do đó, \(\sin 2{\rm{a}} = 2.{{12} \over {13}}.\left( { - {5 \over {13}}} \right) = - {{120} \over {169}}\)
\(\cos 2a = 2.{\cos ^2}a - 1 = 2.{{25} \over {169}} - 1 = - {{119} \over {169}}\)
\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = \left( { - {{120} \over {169}}} \right).\left( { - {{169} \over {119}}} \right) = {{120} \over {119}}\)
c) \(\sin {\rm{a}} + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < \pi\)
Vì \({{3\pi } \over 4} < a < \pi \) nên \(\sin a > 0; \cos a < 0\)
\(\left. \matrix{{\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \hfill \cr \sin a + \cos a = {1 \over 2} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left\{ \matrix{\cos a = {{1 - \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr \sin a = {{1 + \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra : \(\sin 2a = 2.{{1 + \sqrt 7 } \over 4}.{{1 - \sqrt 7 } \over 4} = {{ - 3} \over 4}\)
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2{\left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 4}} \right)^2} = {{ \sqrt 7 } \over 4}\)
\(\tan 2a = - {{3\sqrt 7 } \over 7}\)