Nội dung bài giảng
Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.
a) \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)
b) \(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)
Giải
a) Vì \(a = -1 < 0\) nên:
\(\eqalign{
& - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0\,\forall x \in R \cr
& \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - (2{m^2} + 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow - 1 < 0 \cr} \)
Ta thấy điều suy ra luôn đúng
Vậy với mọi m thì \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0; ∀x ∈\mathbb R \)
b) Đặt \(f(x) = \left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)
+ Với \(m = 2\) thì \(f(x) = 2x + 1\) không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán
+ Với \(m ≠ 2\) thì: \(f(x) < 0, ∀x ∈\mathbb R \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 2 < 0 \hfill \cr
{(m - 3)^2} - (m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 2 \hfill \cr
- 3m + 7 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 2 \hfill \cr
m > {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên
Do đó, không có giá trị nào của m để \(f(x) < 0; ∀x ∈\mathbb R\)