Nội dung bài giảng
Cho phương trình \((m - 1)x^2+ 2x - 1 = 0\)
a) Giải và biện luận phương trình.
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.
c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.
Giải
a) Với \(m = -1\), phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 2}\)
Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ’ = 1 + m – 1 = m\)
Với m < 0, S = Ø
Với m = 0; S = {1}
Với m > 0; \(S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}};\,{{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow - {1 \over {m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \(1 ≠ m > 0\)
Theo định lý Vi-ét:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {2 \over {m - 1}} \hfill \cr
{x_1}{x_2} = - {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {4 \over {{{(m - 1)}^2}}} + {2 \over {m - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2(m - 1) = {(m - 1)^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 2 - \sqrt 5 \,\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr
m = 2 + \sqrt 5 \,\,\,\,,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)