Nội dung bài giảng
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\)
b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\)
c) \(\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\)
d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = {x^2} + 3x - 4\)
Hướng dẫn:
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình: y = -2y2 + 3
d) Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình y = y2 - 6
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
2{x^2} + 4x - 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \)
Vậy S = {16}
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình:
\(\eqalign{
& y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1 \hfill \cr
y = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0
Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)
d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra:
x2 + 3x = y2 – 2
Ta có phương trình:
\(y = {y^2} - 6 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3 \hfill \cr
y = - 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:
\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)
Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)