Nội dung bài giảng
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0
b) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R
Khi nào có đẳng thức?
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} + {(\sqrt b - \sqrt c )^2} + {(\sqrt c - \sqrt a )^2} \ge 0 \cr} \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
b) Ta có:
a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c)
⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ≥ 2abc(a + b +c)
⇔ (a2b2 – 2a2bc+ a2c2) + (a2c2 – 2c2ab +b2c2) +(a2b2 – 2b2ac +b2c2) ≥ 0
⇔ (ab – ac)2 + (ac – bc)2 + (ab – bc)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0