Nội dung bài giảng
Biện luận theo tham số m số nghiệm và dấu các nghiệm của phương trình
a) x2 + 4(m + 3)x + 6(m2 – 5m + 6) = 0
b) (m – 1)x2 – (m – 3)x – m – 3 = 0
Đáp án
a) Ta có:
Δ’ = 4(m + 3)2 – 6(m2 – 5m + 6) = -2m2 + 54m
S = 4(m + 3); P = 6(m2 – 5m + 6)
Bảng trên dẫn đến kết luận sau:
+ Nếu m < 0 hoặc m > 27 thì Δ’ < 0 nên phương trịnh vô nghiệm.
+ Nếu m = 0 hoặc m = 27 thì \(\Delta ' = 0;\,\,{c \over a} > 0;\,\, - {b \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm dương (nghiệm kép)
+ Nếu 0 < m < 2 hoặc 3 < m < 27 thì \(\Delta ' > 0;\,\,{c \over a} > 0;\,\, - {b \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
+ Nếu 2 < m < 3 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
+ Nếu m = 2 hoặc m = 3 thì \({c \over a} = 0\,\,;{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
b) Khi m = 1, ta có phương trình 2x – 4 = 0. Phương trình có một nghiệm dương.
Khi m ≠ 1, ta có phương trình bậc hai. Số nghiệm và dấu của các nghiệm phụ thuộc vào dấu của các biểu thức sau:
\(\eqalign{
& \Delta = {(m - 3)^2} + 4(m - 1)(m + 3) \cr&= 5{m^2} + 2m - 3 \cr
& P = {c \over a} = {{ - m - 3} \over {m - 1}} \cr
& S = - {b \over a} = {{m - 3} \over {m - 1}} \cr} \)
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta suy ra:
+ Nếu \( - 1 < m < {3 \over 5}\) thì Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm
+ Nếu m < -3 hoặc m > 1 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
+ Nếu -3 < m < -1 hoặc \({3 \over 5} < m < 1\) thì \(\Delta > 0;\,{c \over a} > 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
+ Nếu m = -3 thì \(\,{c \over a} = 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm x = 0, nghiệm kia là nghiệm dương
+ Nếu m = -1 hoặc \(m = {3 \over 5}\) thì \(\Delta = 0;\,{c \over a} > 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm kép dương.