Nội dung bài giảng
Với giá trị nào của m, bất phương trình:
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
Đáp án
Ta viết phương trình đã cho dưới dạng:
(m2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0
Đặt f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + 1 ,
Với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng (Dm).
Gọi Am và Bm là các điểm trên đường thẳng (Dm) có hoành độ theo thứ tự là – 1 và 2.
f(x) > 0 với ∀x ∈ [-1; 2] khi và chỉ khi đoạn thẳng AmBm nằm phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Am và Bmnằm phía trên trục hoành, tức là:
\(\left\{ \matrix{
f( - 1) > 0 \hfill \cr
f(2) > 0 \hfill \cr} \right.\)
Thay f(-1) = -m2 + 2m và f(2) = 2m2+ 5m + 3 , ta được hệ bất phương trình:
\(\left\{ \matrix{
- {m^2} + 2m > 0 \hfill \cr
2{m^2} + 5m + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2\)