Nội dung bài giảng
Cho phương trình bậc hai với tham số m
\(3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0\)
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Gợi ý làm bài
Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:
\(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16\)
Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} - 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} - 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV).
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\)
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có
\({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}\)
Từ đó suy ra:
\({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}\)
Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m:
\({m^2} - 10m + 21 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\)