Nội dung bài giảng
Bài 12. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\)
Trả lời:
Biệt thức của tam thức vế trái:
\({\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right)}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\)
\({ = {\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right){\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right)}\)
\({ = {\rm{ }}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\)
\({ = {\rm{ }}\left( {b + a + c} \right)\left( {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right){\rm{ }} < 0}\)
(vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba \(b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0\))
Do đó tam giác cùng dấu với \(b^2>0, ∀x\).
Nghĩa là: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\)