Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng:
a) Nếu x2 + y2 = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)
b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x2 + y2 ≥ 9
Giải
a) Ta có:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + x2 + y2 = 2
⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)
b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)
Do đó:
\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)
Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x - 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)