Nội dung bài giảng
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)
a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}\);
b) \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\)
Giải:
a) Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,(1)\)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3\)
Vì \(2k + 3 > 0\) nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {đpcm} \right)\)
b) Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) bất đẳng thức đúng.
Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) với \(k \ge 1\), ta phải chứng minh
\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\).
Thật vậy, ta có:
\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha\)
\( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)