Nội dung bài giảng
Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì \(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - {1 \over {4{u_n}}}\)
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
Giải:
Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi n nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le {1 \over 4}\)
Mặt khác, từ giả thiết \({u_{n + 1}} < 1 - {1 \over {4{u_n}}}\)
suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - {1 \over 4}\) hay \({1 \over 4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\)
So sánh (1) và (2) ta có:
\({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}\)