Nội dung bài giảng
Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q.
a) Gọi \(I = AM \cap DN,J = BP \cap EQ\). Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng.
b) Giả sử \(AN \cap DM = K,BQ \cap EP = L\). Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng.
Giải:
a) Ta thấy:
+ G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow G \in BD\)
+ \(I \in DN\) (theo cách dựng hình).
+ \(J \in BP\) (theo cách dựng hình).
\( \Rightarrow S,I,J,G \in mp(SPN)\)
Tương tự \( \Rightarrow S,I,J,G \in mp(SQM)\)
Vậy \(S,I,J,G\) là điểm chung của \(mp(SPN)\) và \(mp(SQM)\)
b)
Ta thấy:
+ \(S = PD \cap EM\)
+ \(K \in DM\)
+ \(L \in PE\)
\( \Rightarrow S,K,L \in (SPM)\)
Tương tự \( \Rightarrow S,K,L \in (SQN)\)
Vậy \(S,K,L\) là điểm chung của \((SPM)\) và \((SQN)\)