Nội dung bài giảng
Bài 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:
a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);
b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\)
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:
\(u_3= 3 = u_1.q^2\) và \(u_5= 27 = u_1.q^4\)
Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\) nên \({q^2} = 9\) hay \(q = \pm 3\)
Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\), ta có \(u_1\)= \( \frac{1}{3}\).
- Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).
- Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:
\( \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2}-1)=25(1)\\ u_{1}(q^{2}-1)=50 (2)\end{matrix}\right.\)
Chia (1) cho (2) theo vế với vế ta được: \(50.q = 25\) \(\Rightarrow q =\) \( \frac{1}{2}\).
Và \(u_1= \frac{50}{q^{2}-1}=\frac{50}{\frac{1}{4}-1}=-\frac{200}{3}\).
Ta có cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).